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Apfelmännchen


Das sogenannte Apfelmännchen oder auch Mandelbrot-Menge ist ein Fragtal. Eine Eigenschaft von Fraktalen ist die Selbstähnlichkeit. Das heißt sie sehen immer ähnlich aus, egal wie die Skalierung ist. Man kann sich beispielsweise in ein Fraktal reinzoomen und es sieht immer noch dem vorhergehenden ähnlich.

Die Mandelbrot-Menge ist eine Menge von Punkten. Jeder Punkt auf der komplexen Ebene - also jede komplexe Zahl - gehört entweder zur Menge oder nicht. Man kann die Menge definieren, indem man für jeden Punkt der Ebene Tests durchführt. Es geht dabei um simple iterative Arithmetik. Um einen Punkt zu überprüfen, nimmt man die entsprechende komplexe Zahl, erhebt sie ins Quadrat, addiert die ursprüngliche Zahl, quadriert wieder das Ergebnis, addiert wieder die ursprüngliche Zahl, quadriert das Ergebnis - und so weiter, immer wieder nach demselben Schema. Wenn die Gesamtsumme gegen unendlich geht, gehört der Punkt nicht zur Mandelbrot-Menge. Bleibt die Summe endlich (sei es, dass sie sich in einer sich wiederholenden Schleife fängt oder chaotisch zunimmt und abnimmt), gehört der Punkt zur Mandelbrot-Menge.

Die Farben erhält man, indem man die Anzahl der Iterationen, die man bis zu einem bestimmten Fenster benötigt eine Farbe zuordnet.

Dies habe ich versucht in einem animierten GIF eines Apfelmännchens zu veranschaulichen.

apfel